Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n．已知a₄=2，S₅=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）设，R_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列a_n的公差为d，根据题意列出关于首项和公差的方程组，解上面方程组首项及公差，最后写出数列a_n的通项公式即可；
（2）先由a_n≥0且a_n+1＜0，解得数列从第五项开始为负值，从而利用分段函数结合等差数列的前n项和公式写出T_n即可；
（3）由，利用裂项相消求和得R_n，利用R_n单调递增，即是数列R_n的最小值，即可求得m的最大值．
解答：解：（1）设数列a_n的公差为d，则．（2分）
解上面方程组得..（3分）
所以，数列a_n的通项公式为a_n=8+（n-1）•（-2）
即a_n=10-2n..（4分）
（2）由a_n≥0且a_n+1＜0，解得
当n≤5时T_n=-n²+9n；（5分）
当n＞5时T_n=n²-9n+40；（7分）
所以，（n∈N^*）（8分）
（3）由，裂项相消求和得（10分）
因为，所以R_n单调递增，即是数列R_n的最小值，（12分）
要使对n∈N^*总成立，只须，
所以m＜8又因为m∈Z，所以m的最大值为7（14分）
点评：本小题主要考查数列的求和、函数单调性的应用、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．