Question

已知满足：．
（I）求证：数列{a_2k-1}是等差数；数列{a_2k}是等比数列；（其中k∈N^*）；
（II）记a_n=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=，知a_2k+1-a_2k-1=1．由此能够证明数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列．
（II）由a_2k-1=k，a_2k=2^k，知数列{a_n}的通项公式为a_n=，由此能够求出．
解答：解：（I）=
=，…（2分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，
π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，…（4分）．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，…（6分）
（II）由（I）可知：a_2k-1=k，a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=…（7分）
当n为奇数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≥
令g（n）=＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）为单调递减函数，∴g（n）_max=g（3）=…（10分）
当n为偶数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≤
，显然h（n）为单调递增函数，
h（n）_min=h（2）=1⇒λ≤1
综上，…（12分）
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．