Question

已知以原点O为中心，F(

5

，0)为右焦点的双曲线C的离心率e=

5

2

．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x₁，y₁）的直线l₁：x₁x+4y₁y=4与过点N（x₂，y₂）（其中x₂≠x）的直线l₂：x₂x+4y₂y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．

Answer 1

分析：（1）设C的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．
（2）由题意知，点E（x_E，y_E）在直线l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，因此直线MN的方程为x_Ex+4y_Ey=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，则yG=

2

xE+2yE

，yH =-

2

xE-2yE

，设MN与x轴的交战为Q，则xQ=

4

xE

，由此可求△OGH的面积．

解答：解：（1）设C的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则由题意知c=

5

，e=

c

a

=

5

2

，
∴a=2，b=1，
∴C的标准方程为

x2

4

-y2=1．
∴C的渐近线方程为y=±

1

2

x，即x-2y=0和x+2y=0．
（2）由题意知，点E（x_E，y_E）在直线l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，
因此有x_Ex+4y_Ey=4上，因此直线MN的方程为x_Ex+4y_Ey=4．
设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，
由方程组

xEx+4yEy=4 x-2y=0

及

xEx+4yEy=4 x+2y=0

，解得yG=

2

xE+2yE

，yH =-

2

xE-2yE

，
设MN与x轴的交战为Q，则在直线x_Ex+4y_Ey=4k，令y=0得xQ=

4

xE

，
∵x_E²-4y_E²=4，
∴S△OGH=

1

2

•|OQ|•|yG-yH|
=

4

|xE|

•|

1

xE+2yE

+

1

xE-2yE

|
=

4

|xE|

•

2|xE|

|xE2-4yE2|

=2．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．