Question

【题目】已知函数的定义域为，且是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）证明：函数在上是减函数；

（3）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ， 时，函数是奇函数;(2)见解析;（3）实数的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，由定义可得代入特值， ，可得结果；（2）根据定义做差 ，提公因式和0 比较即可得单调性；（3）结合第一问和第二问得到的奇偶性和单调性，将原式变形得到

，转化为上式恒成立求参，变量分离即可。

(1)∵是偶函数，

∴为定义在 上的奇函数，∴，∴.

又∵，∴，解得.

校验知，当， 时，函数是奇函数.

(2)由（1）知 ，

任取，且，则 .

∵函数在上是增函数，且，∴， ，

∴，即，∴函数在上是减函数.

(3)∵是奇函数，从而不等式等价于，∴，即对一切恒成立.

设，

令， ，则有， ，

∴，∴，

故实数的取值范围为.