Question

17．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，
ϕ∈（0，π）），x∈[-4，0]的图象，图象的最高点为B（-1，2）边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧$\widehat{DE}$．
（1）求曲线段FGBC的函数表达式；
（2）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径 OD上，另外一个顶点P在圆弧$\widehat{DE}$上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；
（2）作图求平行四边形的面积S_OMPQ=OM•PP₁=（2cosθ-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinθ）2sinθ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）；从而求最值．

解答 解：（1）由已知条件，得A=2，
又$\frac{T}{4}$=3，T=$\frac{2π}{ω}$，知$ω=\frac{π}{6}$，
当x=-1时，有$y=2sin（-\frac{π}{6}+φ）=2$，
所以$φ=\frac{2π}{3}$，
故曲线段FGBC的函数表达式为：$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）\\;\\;\\;\\;x∈[-4，0]$，x∈[-4，0]；
（2）如图，$OC=\sqrt{3}$，CD=1，
所以OD=2，∠COD=$\frac{π}{6}$．
作PP₁⊥x轴于P₁点，在Rt△OPP₁中，PP₁=OPsinθ=2sinθ．
在△OMP中，$\frac{OP}{sin120°}=\frac{OM}{sin（60°-θ）}$，
从而OM=$\frac{OP•sin（60°-θ）}{sin120°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}•sin（60°-θ）$=$2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$，
S_{平行四边形OMPQ}=OM•PP₁=$（2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）•2sinθ$
=$4sinθcosθ-\frac{4\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}θ$
=$2sin2θ+\frac{2\sqrt{3}}{3}cos2θ-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{2\sqrt{3}}{3}$    $θ∈（0，\frac{π}{3}）$
当$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$时，平行四边形OMPQ面积最大，为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属中档题．