Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，Sn2=an(Sn-

1

2

)，
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）求证{

1

Sn

}是等差数列及求数列{a_n}的通项公式
（3）若b_n=S_nS_n+1，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

分析：（1）在Sn2=an(Sn-

1

2

)中，分别令n=2，n=3，n=4可得a₂，a₃，a₄
（2）由Sn2=an(Sn-

1

2

)=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，得

1

2

Sn+Sn-1Sn=

1

2

Sn-1可化为

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，由此可判断{

1

Sn

}是等差数列，从而可求得S_n，由a_n与S_n的关系可求得a_n；
（3）由（2）可求得b_n，利用裂项相消法可求得数列{b_n}的前n项和，由数列单调性可求得其最小值；

解答：解：（1）在Sn2=an(Sn-

1

2

)中，令n=2，得（1+a₂）²=a2(1+a2-

1

2

)，解得a2=-

2

3

，
令n=3，得(1-

2

3

+a3)2=a3(1-

2

3

+a3-

1

2

)，解得 a3=-

2

15

，
令n=4，得(1-

2

3

-

2

15

+a4)2=a4(1-

2

3

-

2

15

+a4-

1

2

)，解得a4=-

2

35

，
∴a2=-

2

3

； a3=-

2

15

；a4=-

2

35

；
（2）∵Sn2=an(Sn-

1

2

)=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，
∴

1

2

Sn+Sn-1Sn=

1

2

Sn-1即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
故{

1

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)•2=2n-1，故Sn=

1

2n-1

；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

，
当n=1时，a₁=1不适合上式，
故an=

1，n=1 1 2n-1 - 1 2n-3 ，n≥2

；
（3）由（2）得，b_n=S_nS_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴数列{b_n}的前n项和为：

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

（1-

1

2n+1

），
易知

1

2

（1-

1

2n+1

）关于n递增，
∴

1

2

（1-

1

2n+1

）≥

1

2

(1-

1

3

)=

1

3

，当n=1时取等号．
∴数列{b_n}的前n项和的最小值

1

3

．

点评：本题考查等差数列的判断、通项公式、数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．