题目内容

设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则 $数学公式$ =________．

$\text{[math]}$
分析：根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．
解答：由柯西不等式得，（a²+b²+c²）（ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ y²+ $\text{[math]}$ z²）≥（ $\text{[math]}$ ax+ $\text{[math]}$ by+ $\text{[math]}$ cz）²，
当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时等号成立
∵a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，
∴（a²+b²+c²）（ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ y²+ $\text{[math]}$ z²）≥（ $\text{[math]}$ ax+ $\text{[math]}$ by+ $\text{[math]}$ cz）²，中等号成立，
∴一定有： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．