题目内容

已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内

[　　]

A．至少有一实数根

B．至多有一实数根

C．没有实数根

D．有唯一实数根

答案：D
解析：

∵f(x)＝－x－x3在[a，b]上递减，且f(a)f(b)＜0，∴f(x)在[a，b]内有唯一零点．


练习册系列答案
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已知函数f(x)是y＝－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y＝－的图象关于y轴对称，设F(x)＝f(x)＋g(x)，

(1)求函数F(x)的解析式及定义域；

(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B的坐标；若不存在，说明理由．

已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x＝0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是

[　　]
A．

0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值

B．

0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值

C．

0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值

D．

0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值

已知f(x)＝xlnx．

(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝e处的切线方程；

(2)设实数a＞0，求函数y＝f(x)在[a，2a]上的最小值；

(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有成立．

已知f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω＞0)的图像与轴的两个相邻交点之间的距离为．

(1)求f(x)的解析式，并求出f(－x)的单调递增区间；

(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像，求f(x)＋g(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合．

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)设切点为(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

 

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