Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

．
（1）确定函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）个单位长度，所得图象关于y轴对称，求φ的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为5sin（2x-

π

3

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间．
（2）平移后得到函数y=5sin（2x+2∅-

π

3

）的图象，其对称轴方程为2x+2∅-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，再由对称轴为y轴可得∅=

kπ

2

+

5π

12

，再由0＜φ＜

π

2

可得∅的值．

解答：解：（1）函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

=

5

2

sin2x-

5

2

3

（1+cos2x）+

5

2

3

=5（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）=5sin（2x-

π

3

）．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z．
故增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）个单位长度，得函数y=5sin[2（x+∅）-

π

3

]=5sin（2x+2∅-

π

3

）的图象，其对称轴方程为2x+2∅-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，
再由对称轴为y轴可得∅=

kπ

2

+

5π

12

．
再由0＜φ＜

π

2

可得∅=

5π

12

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的对称性、单调性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．