Question

【题目】如图，已知四棱锥，是等边三角形，，，，，是的中点．

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先证明与平面中的一条线平行，再应用线面平行的判定定理即可证得结果；

（Ⅱ）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由此可推出为点到平面的距离，然后通过解直角三角形求解即可.

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，

在中，，分别是，的中点，

所以且，

又且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

故平面.

（Ⅱ）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，

由，，，

得平面，所以平面平面，

过点作于点，则平面，

由知，点到平面的距离等于，

设，则由知，，，

又，所以平面，

所以，

又，，所以，

所以，又，

，则，

，

即，解得，

在中，，，，

可得，

设直线与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为.