Question

【题目】已知数列满足，，其中常数．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若，求证：对于任意的，均有；

（Ⅲ）当常数时，设，若存在实数使得恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用，得到，然后结合条件建立不等式，通过分类讨论，求解不等式；

（Ⅱ）利用数学归纳法，证明结论成立；

（Ⅲ）利用数学归纳法，证明不等式成立，进而求出的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知得时，

∴

∵，∴

若，则，则或．

若，则，则或．

（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明

当时，成立

假设时，

则当时

∵，∴

∴

即时命题也成立

∴对任意的均有．

（Ⅲ）当时，用数学归纳法证明

当时，成立

假设时，，则当时

∴．

即时，命题也成立

∴对有

∴

易知不存在使恒成立．

当时，由（Ⅱ）知

若存在，则对，，对任意，恒成立

而对，则必不存在，否则将推出，矛盾．

∵，∴

∴，

∴

∵，∴

又，∴，∴

故存在使得恒成立

综上所述，