Question

设a＞0,f(x)=+是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）证明f(x)在（0，+∞）上是增函数；

（3）当x∈［-ln2,ln2］时,f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

答案：(1)解:由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),即+=+，

化简,得(a-)(e^x)=0.因上式对x∈R都成立，所以a-=0，由a＞0得a=1,因此f(x)=e^x+e^-x.

(2)证明：f′(x)=e^x-e^-x.当x＞0时，e^x＞1,0＜e^-x＜1,所以f′(x)=e^x-e^-x＞0.故f(x)在(0，+∞)上是单调增函数.

(3)解：因f(x)是偶函数，又f(x)在(0，+∞)上是增函数，对于x∈［-ln2,ln2］,函数f(x)有最大值f(-ln2)=f(ln2)=e^ln2+e^-ln2=2+=，要使当x∈［-ln2,ln2］时，f(x)＜m恒成立，只要m＞即可.故所求m的范围是(，+∞).