Question

已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对

角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于                   （    ）

A．10                 B．15             C．20             D．25

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

试题分析：依次连接EF、FG、GH、HE

∵E是AB中点，H是AD中点，∴EH∥BD，且EH= BD=1

同理：

FG∥BD，FG= BD=1 ,所以，EH∥FG，EH=FG

同理，EF∥HG，EF=HG

所以，四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形

设∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ

在△EHG中，由余弦定理有：

EG2=EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ

在△EFH中，由余弦定理有：

FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ

上述两式相加，得到：

EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10

故选A

考点：本题主要考查空间四边形中的线线平行关系及余弦定理的应用。

点评：注意把立体几何问题转化成平面问题，这里运用了余弦定理，对高一学生来说是个难题。