Question

1．函数f（x）=x³-ax-1．
（1）当a=8时，求函数f（x）在x=0处的切线方程．
（2）讨论f（x）=x³-ax-1的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a=8时，f（x）=x³-8x-1，f′（x）=3x²-8，
故f′（0）=-8，f（0）=-1，
故切线方程是：y+1=-8x，
即8x+y+1=0；
（2）f′（x）=3x²-a，
a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）递增，在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查切线方程，是一道中档题．