Question

5．设S_n为数列{a_n}的前n项和，数列{a_n}满足a₁=a，${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，其中a＜0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={a_n}-{log_2}\frac{a_n}{a_1}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，若当且仅当n=4时，T_n取得最小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，其中a＜0，利用递推式可得：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）${b_n}={a_n}-{log_2}\frac{a_n}{a_1}$=$a（\frac{1}{2}）^{n-1}$+n-1，又a＜0，可得数列{b_n}为单调递增数列．由当且仅当n=4时，T_n取得最小值，可得T₃＞T₄，T₄＜T₅，可得b₄＜0，b₅＞0．解出即可．

解答 解：（1）由${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，其中a＜0，
∴当n≥2时，${S}_{n-1}=（{2}^{n-1}-1）{a}_{n-1}$，
∴a_n=（2ⁿ-1）a_n-（2^n-1-1）a_n-1，化为${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为a，公比为$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=a（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）${b_n}={a_n}-{log_2}\frac{a_n}{a_1}$=$a（\frac{1}{2}）^{n-1}$+n-1，又a＜0，
∴数列{b_n}为单调递增数列．
当且仅当n=4时，T_n取得最小值，
∴T₃＞T₄，T₄＜T₅，
解得b₄＜0，b₅＞0．
又当b₄＜0，b₅＞0时，数列{b_n}为单调递增数列，可知：T_n取得最小值时，n=4．
即当且仅当n=4时，T_n取得最小值的充要条件为当b₄＜0，b₅＞0．
由b₄＜0，b₅＞0，解得-64＜a＜-24，
∴a的取值范围是（-64，-24）．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．