Question

15．已知a＞0，曲线f（x）=2ax²-$\frac{1}{ax}$在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则当k取最小值时a的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由基本不等式，可得斜率k的最小值，同时可得a的值．

解答 解：f（x）=2ax²-$\frac{1}{ax}$的导数为f′（x）=4ax+$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
可得在点（1，f（1））处的切线的斜率k=4a+$\frac{1}{a}$，a＞0，
可得k=4a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{4a•\frac{1}{a}}$=4，
当且仅当4a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$，k取得最小值4．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．