Question

【题目】如图，设椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且.

（1）若过，，三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在满足的点且的取值范围是.

【解析】

（1）设，由，，根据，求得，得出，，

又由圆与直线相切，得，求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）由（1），设：，联立方程组，利用根与系数的关系求得，，再由菱形的对角线垂直，得到，列出方程，求得，即可求解．

（1）设，由，，则，，

∵，∴，.

由于，故，∴，即，

于是，.

又因为的外接圆圆心为，半径.该圆与直线相切，

所以∴.∴，.

∴所求椭圆方程为.

（2）由（1）知，设：，

由消掉，得.

设，，则，，

，

由于菱形的对角线垂直，故，

故，即，

即：，

由已知条件知且，∴，∴，

故存在满足的点且的取值范围是.