Question

（08年新建二中三模）设、分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线.

   ⑴求椭圆的方程；

   ⑵设为右准线上不同于点的任意一点,若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、,证明：点在以为直径的圆内.

 

Answer 1

解析：⑴依题意得,,解得,从而.故椭圆的方程为.

  ⑵解法：由⑴得,,.∵M点在椭圆上,∴ ①.又点异于

    点、,∴,由三点共线得.∴,,

    ∴  ②.将①代入②,化简得.

   ∵,∴,则为锐角,∴为钝角,故点在以为直径的圆内.

   解法：由⑴得,,设.则,.又的中点

      为,依题意,点到圆心的距离与半径的差

       ③.又直线：,

      直线：,而两直线与的交点在准线上,∴,即

      ④.又点M在椭圆上，则，即 ⑤.于是将④、⑤

      代入③,化简后可得.从而,点在以为直径的圆内.