Question

已知直线l₁：4x+3y-12=0与x轴和y轴分别交于A，B两点，直线l₂经过点C(0，

3

2

)且与直线l₁垂直，垂足为M．
（Ⅰ）求直线l₂的方程与点M的坐标；
（Ⅱ）若将四边形OAMC（O为坐标原点）绕y轴旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据直线l₁的方程，得到直线l₂的斜率为k₂=

3

4

，从而设l₂的方程为3x-4y+m=0．再由点C(0，

3

2

)在直线l₂上，代入即可得m=6，得到直线l₂的方程．最后由两条直线方程联解，可得点M的坐标为（

6

5

，

12

5

）；
（Ⅱ）根据直线l₁方程，分别求出A，B两点的坐标，再结合M（

6

5

，

12

5

），C(0，

3

2

)，得到将四边形OAMC绕y轴旋转一周得到的几何体是两个锥体的差，最后用圆锥的体积公式可以求出其体积V．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l₁：4x+3y-12=0的斜率为k₁=-

4

3

∴直线l₂的斜率为k₂=

-1

k1

=

3

4

，可设l₂的方程为3x-4y+m=0．
∵点C(0，

3

2

)在直线l₂上，
∴3×0-4×

3

2

+m=0，可得m=6．
∴直线l₂的方程为3x-4y+6=0．（2分）
再由

4x+3y-12=0 3x-4y+6=0

联解，得

x= 6 5 y= 12 5

∴点M的坐标为（

6

5

，

12

5

）．　（4分）
（Ⅱ）∵直线l₁：4x+3y-12=0与x轴和y轴分别交于A，B两点，
∴令y=0，得x=3，得A（3，0）．再令x=0，得y=3，得B（0，4）．
∵M（

6

5

，

12

5

），C(0，

3

2

)．　
∴将四边形OAMC（O为坐标原点）绕y轴旋转一周，得到的几何体是两个锥体的差，
其体积为：V=

1

3

π•32•4-

1

3

π•(

6

5

)2•(4-

3

2

)=

54

5

π．（7分）

点评：本题根据两条直线的方程，求参数m的值，并求四边形绕y轴旋转一周围成的几何体积，着重考查了直线的相互关系和旋转体的体积公式等知识点，属于中档题．