Question

已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
[1] 对任意的，总有；
[2] ；
[3] 若，，且，则有成立，
并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：
(1)若已知为“友谊函数”，求的值；
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，
求证：.

Answer 1

（1）（2）为友谊函数

（1）取得，-------2分
又由，得           --------------- 3分
（2）显然在上满足[1] ；[2] .-------5分
若，，且，则有

故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数.--8分
(3)由 [3]知任给其中，且有，不妨设则必有：-----------------------------9分
所以：
所以：.-----------------------------------10分
依题意必有,
下面用反证法证明：假设，则有或
（1）若，则，这与矛盾；--12分
(2)若，则，这与矛盾；
故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.----14分