Question

如图，已知平面BCC₁B₁是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4．
（Ⅰ）求证：B₁O⊥平面AEO；
（Ⅱ）求二面角B₁-AE-O的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-B₁OE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立空间直角坐标系A-xyz，设出点的坐标，表示出向量的坐标，利用向量的数量积，确定线线垂直，即可确定线面垂直；
（II）求出平面AEO、平面 B₁AE的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角B₁-AE-F的余弦值；
（Ⅲ）确定AO⊥EO，计算AO，EO的长，利用等体积，即可求得结论．
解答：（I）证明：依题意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA₁=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），O（2，2，0），B₁（4，0，4）
，，=（2，2，0）
∴，∴
∴B₁O⊥EO
同理B₁O⊥AO
∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO
∴B₁O⊥平面AEO；         （4分）
（II）解：平面AEO的法向量为，设平面B₁AE的法向量为，
∴，∴
令x=2，则
∴cos==
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为                         （8分）
（Ⅲ）解：∵，∴，∴AO⊥EO
∵AO=，EO=2
∴三棱锥A-B₁OE的体积==S_△AOE•B₁O=         （12分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是利用空间向量法，确定平面的法向量．