Question

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆左准线与x轴交于E(-4，0)，过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A、B两个不同的点(A在E，B之间)，
(1)求椭圆的方程；
(2)求△AOB面积的最大值；
(3)设椭圆左、右焦点分别为F₁、F₂，若有，求实数λ，并求此时直线l的方程。

Answer 1

解：(1)椭圆方程为；
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由于l不与y轴垂直，
设直线l：x=my-4，与椭圆方程联立得，
消去x得：，
由Δ＞0得|m|＞2，
，
原点O到直线l的距离，
所以△AOB的面积，
令，
则，
当且仅当即时，S取得最大值，
所以△AOB面积的最大值为；
(3)F₁(-1，0)，F₂(1，0)，由平面几何知识可知，△EAF₁与△EBF₂相似，
所以，∴，
易得l的方程为或。