Question

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

2

2

，椭圆右准线与x轴交于E（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直线x+2y-10=0上有且仅有一点P使

PO

•

PM

=0．求以OM为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设椭圆左、右焦点分别为F₁，F₂，过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A，B两个不同的点（B在E，A之间）若有

F1A

=λ

F2B

，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设出a，b，c分别为椭圆的半长轴，半短轴及半焦距，根据椭圆的准线方程公式列出a与c的方程记作①，根据离心率列出a与c的方程记作②，联立①②即可求出a与c的值，根据a²=b²+c²即可求出b的值，由椭圆的中心在原点，利用a与b的值写出椭圆的标准方程即可．
（II）利用圆和直线相切．利用点到直线的距离公式可可求得圆心坐标和圆的半径，即可得出以OM为直径的圆的方程；
（III）由向量平行的关系

F1A

∥

F2B

，可求得

EA

=3

EB

，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）从而得出

x1=3x2-4 y1=3y2

，又A，B在椭圆上，代入椭圆方程，即可解出A，B的坐标，从而得到直线方程．

解答：解：（i）设a为半长轴，b为半短轴，c为焦距的一半，
根据题意可知：

a2

c

=2即a²=2c①，

c

a

=

2

2

即a²=2c²②，
把②代入①解得：c=1，
把c=1代入②解得a=

2

，
所以b=1，
又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1（4分）
（II）即以OM为直径的圆和直线x+2y-10=0相切．可求得圆心为(1，

t

2

)，半径为

1+ t2 4

，
所以

|1+t-10|

5

=

1+ t2 4

，解得t=4（负舍）则以OM为直径的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5（9分）
（III）由题：

F1A

∥

F2B

，则有相似比可求得

EA

=3

EB

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴（x₁-2，y₁）=3（x₂-2，y₂），∴解得

x1=3x2-4 y1=3y2

又A，B在椭圆上，带入椭圆方程，有

(3x2-4)2 2 +(3y2)2=1 x22 2 +y22=1

解得

x2= 4 3 y2=± 1 3

∴求得直线方程为y=

1

2

x-1或y=-

1

2

x+1（15分）

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的运算，直线与圆锥曲线的关系．关键是正确利用公式．