如图.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直.A A1＝AB＝AC＝1.AB⊥AC.M.N分别是CC1.BC的中点.点P在直线A1B1上.且 (1)证明:无论入取何值.总有AM⊥PN, (2)当入取何值时.直线PN与平面ABC所成的角θ最大? 并求该角取最大值时的正切值. (3)是否存在点P.使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º.若存在.试确定点P的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，A A₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

（1）证明：无论入取何值，总有AM⊥PN；

（2）当入取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？

并求该角取最大值时的正切值。

（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面

角为30º，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由。

解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A₁（0，0，1），

B₁（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）

，，

C

N

（1）∵，∴

∴无论取何值，AM⊥PN……………………………………（4分）

（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。

∴sinθ=|cos<|=

∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2

答：当＝时，θ取得最大值，此时tanθ=2………（8分）

（3）设存在，，设是平面PMN的一个法向量。

则得令x=3，得y=1+2,z=2-2

∴

∴|cos<>|=化简得4

∵△＝100-4413＝-108<0

∴方程（*）无解

∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º…（13分）

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如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2

，M，N分别是棱CC₁，AB中点．
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-AMN的体积．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且

；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，且A₁A⊥底面ABC，D为AB的中点，G为△ABC₁的重心，则|

|的值为（　　）

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．
（1）求证：BD⊥AC₁；
（2）若AB=

，求AC₁与平面ABC所成的角．