Question

直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】【解析】
(1)证法一：连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，

所以MN∥AC′.

又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

证法二：取A′B′中点P，连接MP，NP.

而M，N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.

又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.

而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.

(2)解法一：连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝B′C′＝1，

故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.

解法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.