Question

若f（x）=cos²x+asin（

3π

2

+x）的最小值为-6，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：首先将解析式化简为关于cosx的二次函数形式，根据正弦函数的有界性换元，将函数转化为二次函数的闭区间上的最值解答．

解答： 解：由已知f（x）=cos²x+asin（

3π

2

+x）=cos²x-acosx，
令t=cosx，则-1≤t≤1，则f（t）=t²-at=（t-

a

2

）²-

a2

4

，
①当

a

2

∈[-1，1]时，f（t）的最小值为-

a2

4

=-6，解得a=±2

6

∉[-1，1]；不合题意；
②当

a

2

＞1时，f（t）在[-1，1]是减函数，f（t）的最小值为f（1）=1-a=-6，解得a=7，满足题意；
③当

a

2

＜-1时，f（t）在[-1，1]是增函数，f（t）的最小值为f（-1）=1+a=-6，解得a=-7，满足题意；
综上a=7或-7；

点评：本题考查了三角函数的化简以及利用换元的思想将问题转化为二次函数的闭区间上的最值求法，同时考查了讨论的数学思想，属于中档题．