题目内容

已知幂函数f（x）= $数学公式$ （p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数（x）．

解：∵幂函数f（x）= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上是增函数，
所以- $\text{[math]}$ p²+p+ $\text{[math]}$ ＞0，
解得-1＜p＜3．
又由p∈Z，
所以p=0、1、2．
当p=0时，f（x）= $\text{[math]}$ ，不是偶函数，不符合题意；
当p=1时，f（x）=x²，是偶函数，符合题意；
当p=2时，f（x）= $\text{[math]}$ ，不是偶函数，不符合题意．
故p=1，对应的函数为f（x）=x²．
分析：根据幂函数的性质，由在（0，+∞）上是增函数可知，指数大于零，再由在其定义域内是偶函数验证求解．
点评：本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，关键是抓住在第一象限内的图象和性质，相关的第二象限、第三象限可由奇偶性来推之．