Question

7．关于下列命题：①若sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，则sin2θ=$\frac{3}{4}$；②函数y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）是偶函数；③函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数；④函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0）．写出所有正确命题的序号①④．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角公式求得①正确；利用诱导公式、正弦函数的奇偶性可得②不正确；根据正弦函数的单调性可得③不正确；根据正弦函数的图象的对称性可得④正确，从而得出结论．

解答 解：若sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，则1-sin2θ=$\frac{1}{4}$，求得sin2θ=$\frac{3}{4}$，故①正确．
由于函数y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）=cos（$\frac{π}{2}$-2x）=sin2x是奇函数，故②不正确．
在闭区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不是单调函数，故③不正确．
令x=$\frac{π}{6}$，求得函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）=0，可得函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0），故④正确，
故答案为：①④．

点评 本题主要考查二倍角公公式、诱导公公式，正弦函数的奇偶性、单调性、图象的对称性，属于中档题．