题目内容

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）当x=n，y=1，n∈N^时，求f（n）的表达式：
（Ⅱ）设a_n=n•f（n）（n∈N^），求证：a₁+a₂+…+a_n＜2

解：（I）x=n，y=1得： $\text{[math]}$ ．
∴数列{f（n）}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
$\text{[math]}$ ．（4分）

（Ⅱ）设T_n=a₁+a₂++a_n
∵ $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
两式相减得： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．（10分）
分析：（I）x=n，y=1得： $\text{[math]}$ ．则由等比数列的定义知，数列{f（n）}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．（Ⅱ）设T_n=a₁+a₂+…+a_n其通项公式是 $\text{[math]}$ 是一个等差数列和等比数列对应项积的形式，则由错位相减法求得前n项和，再用放缩法证明不等式．
点评：本题主要考查抽象函数求解析式，进而转化为数列研究数列的通项及用错位相减法求前n项和．

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