题目内容

已知向量 $数学公式$ =（2cos²x， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（1，sin2x），函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆的半径，且f（C）=3，c=1， $数学公式$ ，且a＞b，求a，b的值．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的最小正周期为π，由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
解得kπ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴函数f（x）的单调增区间为（k $\text{[math]}$ ，kπ $\text{[math]}$ ）（k∈Z）
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∵C是三角形内角，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$
由余弦定理可得： $\text{[math]}$ 即： $\text{[math]}$ ①
由正弦定理可得： $\text{[math]}$ 可得： $\text{[math]}$ ②，联立①②得： $\text{[math]}$
解之得：a²=3或4，∴a= $\text{[math]}$
所以当 $\text{[math]}$ 时，b=2；当a=2， $\text{[math]}$ ，∵a＞b，∴a=2， $\text{[math]}$
分析：（1）由题意结合数量积的定义可得函数f（x），由周期公式和整体代入可得答案；
（2）由（1）结合f（C）=3可得角C的值，然后又余弦定理和正弦定理可得关于a，b的方程，联立可解，再由a＞b可做取舍．
点评：本题为向量和三角函数以及解三角形的结合，熟练利用公式进行运算是解决问题的关键，属中档题．