Question

18．己知等比数列{a_n}的各项为正数，a₁=3，a₂+a₃=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值，且最大值为a₃，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）设公比为q，（q＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，即可得到所求通项；
（2）由正弦函数的图象和性质，可得当x=$\frac{π}{6}$时，2x+φ=$\frac{π}{2}$，取得最大值A，再由通项公式即可得到A，进而得到f（x）的解析式．

解答 解：（1）设公比为q，（q＞0），
由a₁=3，a₂+a₃=18，
可得3q+3q²-18=0，
解得q=2（-3舍去），
即有a_n=a₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），
当x=$\frac{π}{6}$时，2x+φ=$\frac{π}{2}$，
即有φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，f（x）取得最大值A，
由题意可得A=a₃=12，
则有f（x）=12sin（2x+$\frac{π}{6}$）．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，考查三角函数的解析式的求法，注意运用正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．