Question

6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的极坐标方程为$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$．
（1）求曲线C₁的参数方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）记曲线C₁与曲线C₂交于M，N两点，求线段 MN的长度．

Answer 1

分析 （1）对C₁的极坐标方程两边同乘ρ，得出普通方程，再化为参数方程，将C₂的极坐标方程展开得到直角坐标方程；
（2）将两曲线普通方程联立方程组，解出M，N坐标计算距离．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，故曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=4x，即（$\frac{x-2}{2}$）²+（$\frac{y}{2}$）²=1．
令$\frac{x-2}{2}=cosθ$，$\frac{y}{2}$=sinθ，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$．
∴曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∵$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，∴ρcosθ-ρsinθ=4．∴曲线C₂的直角坐标方程是x-y-4=0．
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{x-y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴|MN|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0+2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，属于基础题．