Question

“a=-1”是“函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点”的（　　）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．非充分必要条件

Answer 1

分析：此题是充分性，必要性的判定可先令a=-1看能不能得出函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点若能得出充分性成立否则不成立；然后看函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点能不能得出a=-1若能得出则必要性成立否则不成立．

解答：解：若a=-1则函数f（x）=-x²+2x-1令f（x）=0则-（x-1）²=0故x=1所以当a=-1函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点1
 即a=-1”是“函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点”的充分条件
若函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点即函数f（x）的图象与x轴只有一个交点也即f（x）=0有且只有一个实根
当a=0时2x-1=0，得x=

1

2

符合题意
当a≠0时要使（x）=0有且只有一个实根则△=4+4a=0即a=-1
∴函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点则a=0或-1，即函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点不是a=-1的充分条件
故a=-1不是函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点的必要条件
综上“a=-1”是“函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点”的充分不必要条件
故选B

点评：本题主要考察了必要条件，充分条件，充要条件的判定，属常考题型，较难．解题的策略是先看前者能不能推出后者再看后者能不能推出后者然后再利用充分性、必要性的定义得出结论，但函数f（x）=ax²+2x-1只有一个零点即函数f（x）的图象与x轴只有一个交点也即f（x）=0有且只有一个实根是必要性判断的关键！