Question

“a=1”是“函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1没有极值”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为 f^′（x）=x²+ax+

a

2

，故判别式△≤0，解不等式求得实数a的取值范围．最后再看与“a=1”的关系即得．

解答：解：函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1在R上没有极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1 的导数为 f^′（x）=x²+ax+

a

2

，
∴△=a²-2a≤0，∴0≤a≤2，
由于“a=1”⇒“0≤a≤2”；反之不成立．
故“a=1”是“函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+

1

2

ax+1没有极值”的充分不必要条件．
故选A．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，以及一元二次方程无解或只有唯一解的条件．属于基础题．