Question

（2013•浙江模拟）设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}=x-[x]，则{x}的取值范围为[0，1），现定义无穷数列{a_n}如下：a₁={a}，当a_n≠0时，a_n+1={

1

an

}；当a_n=0时，a_n+1=0．当

1

3

＜a≤

1

2

时，对任意的自然数n都有a_n=a，则实数a的值为

2

-1

．

Answer 1

分析：根据已知条件：

1

3

＜a≤

1

2

，计算数列{a_n}的前几项，结合对任意的自然数n都有a_n=a，从而得出关于a的方程．即可求出实数a的值．

解答：解：当

1

3

＜a≤

1

2

时，2≤a＜3．
a₁={a}=a，
a₂={

1

a

}=

1

a

-2，
∵当

1

3

＜a≤

1

2

时，对任意的自然数n都有a_n=a，
∴a=

1

a

-2，即a²+2a-1=0，
∴a=

2

-1或a=-

2

-1（不合2≤a＜3，舍去）
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查的是取整函数，数列的函数特性．解答此题的关键是计算数列的前几项，进而得到关于未知数的方程，利用方程思想求解．