Question

已知函数f（x）满足：f(1)=

1

2

，对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=（　　）

• A．1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．-1

Answer 1

分析：对恒等式进行赋值，令y=1，结合f(1)=

1

2

，则有f（x+1）+f（x-1）=f（x），再进行赋值化简，即可确定函数f（x）的周期为6，进而运用周期进行计算，然后用赋值法求出相应函数值，即可得到答案．

解答：解：∵任意实数x，y都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
∴令y=1，则有f（x+1）+f（x-1）=2f（x）f（1），
又∵f（1）=

1

2

，则f（x+1）+f（x-1）=f（x），①
将x代换为x+1，则有f（x+2）+f（x）=f（x+1），②
①+②，可得f（x+2）=-f（x-1），
将x代换为x+1，则有f（x+3）=-f（x），
再将x代换为x+3，则有f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期函数，周期为6，
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]+[f（3）+f（6）]=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）
=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2）+f（3）
=0+f（1）+f（2）+f（3）
=f（1）+f（2）+f（3），
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
∴令x=1，y=0，得2f（1）=2f（1）•f（0），又f（1）=

1

2

，
∴f（0）=1，
令x=y=1，则有f（2）+f（0）=2f（1）f（1），
∴f（2）=-

1

2

，
又f（x+3）=-f（x），则f（3）=-f（0）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=

1

2

+（-

1

2

）+（-1）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=-1．
故选D．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了函数求值，对于抽象函数求值问题一般选用赋值法进行求解．此题解题的关键是通过所给的关系式求出函数的周期，利用周期转化求值．属于中档题．