Question

【题目】如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）为直线的中点，且，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面，则，结合，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；

（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值．

（Ⅰ）证明：为矩形，，

平面平面，平面平面，

平面，则，

又，，

平面，而平面，

平面平面；

（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

由，是以为直角的等腰直角三角形，

得：，

．

设平面的一个法向量为，

由，取，得；

设平面的一个法向量为，

由，取，得.

．

∴二面角的正弦值为．