Question

椭圆mx²+ny²=1与直线y=-x+1相交于A、B两点，过原点和线段AB中点的直线斜率为

2

2

，则

n

m

的值是（　　）

• A．

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  2

  9

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）中点为P（x₀，y₀），根据经过两点的斜率公式，算出

y0

x0

=

2

2

且

y1-y2

x1-x2

=-1，由中点坐标公式和椭圆方程加以联解，可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（y₁-y₂）•2y₀=0，即可算出

n

m

的值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）中点为P（x₀，y₀），
∴k0P=

y0

x0

=

2

2

①，k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-1②，
由AB的中点为P可得x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由M，N在椭圆上，可得

mx12+ny12=1 mx2 2+ny2 2=1

，
两式相减可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0③，
把①、②代入③，可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（y₁-y₂）•2y₀=0③，
整理可得

n

m

=

2

故选：A

点评：本题给出椭圆的弦中点所在直线的方程，求

n

m

的值．主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，属于中档题．在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，请同学们在解题时加以注意．