Question

（2007•汕头二模）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥O-AB₁M的体积．

Answer 1

分析：（I）利用线面平行的判定定理证明BD₁∥平面ACM；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理证明B₁O⊥平面ACM；
（Ⅲ）利用锥体的体积公式求体积．

解答：解：（I）证明：
连结BD，设BD与AC的交点为O，
∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；
连结MO，
∵O，M分别为DB，DD₁的中点，
∴OM∥BD₁，…（2分）
∵OM?平面ACM，BD₁?平面ACM…（3分）
∴BD₁∥平面ACM．　　　　　　　　　　　  …（4分）
（II）∵AC⊥BD，DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁；且BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁B₁…（6分）
OB₁?平面BDD₁B₁，∴B₁O⊥AC，…（7分）
连结B₁M，在△B₁MO中，MO2=12+(

2

)2=3，B1O2=22+(

2

)2=6，B1M2=12+(2

2

)2=9，
∴B1M2=MO2+B1O2，
∴B₁O⊥OM…（10分）
又OM∩AC=O，∴B₁O⊥平面AMC；          …（11分）
法二：∵

MD

BO

=

DO

BB1

=

1

2

，∠ODM=∠B₁BO=90°，
∴△MDO∽△OBB₁，
∴∠MOD=∠OB₁B，∠MOD+∠B₁OB=90°，
∴B₁O⊥OM．
（Ⅲ）可证AO⊥平面OB₁M，则VO-AB1M=VA-OB1M=

1

3

×AO×S△OB1M=

1

3

×

2

×

1

2

×OB1×OM=

1

3

×

2

×

1

2

×

6

×

3

=1．

点评：本题主要考查直线和平面平行或垂直的判定，以及锥体的条件公式，要求熟练掌握相应的判定定理．