题目内容
设△ABC的内角A，B，C满足sinA，sinB，sinC成等比数列，则
的取值范围是
| sinAcotC+cosA |
| sinBcotC+cosB |
(
，
)
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
(
，
)
．
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
分析：由sinA，sinB，sinC成等比数列，根据正弦定理得到三角形三边成等比数列，把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角和之间的关系，最后角化边，得到要求的范围既是公比的范围，用公比表示出三条边，根据两边之和大于第三边，得到不等式组，得到结果．
解答：解：由sinA，sinB，sinC成等比数列，
根据正弦定理得：a，b，c也成等比数列，
设三边的公比是q，三边为a，aq，aq2，
原式=
=
=
=
=q
由三角形的两边之和大于第三边可得：
aq+aq2＞a，①a+aq＞aq2，②a+aq2＞aq，③
解三个不等式可得q ＞
，0 ＜q＜
，
综上，所求式子的范围为(
，
)．
故答案为：(
，
)
根据正弦定理得：a，b，c也成等比数列，
设三边的公比是q，三边为a，aq，aq2，
原式=
| ||
|
=
| sinAcosC+cosAsinC |
| sinBcosC+cosBsinC |
=
| sin(A+C) |
| sin(B+C) |
=
| sinB |
| sinA |
由三角形的两边之和大于第三边可得：
aq+aq2＞a，①a+aq＞aq2，②a+aq2＞aq，③
解三个不等式可得q ＞
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
综上，所求式子的范围为(
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
故答案为：(
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：此题考查了正弦定理，等比数列的性质，三角函数的恒等变化，三角形内角之间的关系，一元二次不等式的解法，等比数列的应用，以及变量的范围的求解，利用转化的思想，是一道综合性较强的题．
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