Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求AB₁与平面BDD₁B₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由DD₁⊥面AC，知DD₁⊥AC，由DD₁⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD₁B₁．
（Ⅱ）利用AC⊥平面BDD₁B₁，可得∠AB₁O为直线AB₁与平面BDD₁B₁所成的角，通过解三角形可得结论；

解答：解：（Ⅰ）证明：∵DD₁⊥面AC，AC?平面AC，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，BD?平面BDD₁B₁，DD₁?平面BDD₁B₁
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
（Ⅱ）连结AC，BD交于O，
∵AO⊥平面BDD₁B₁，连结OB₁，A在平面BDD₁B₁上的射影为为O，
∴∠AB₁O为直线AB₁与平面BDD₁B₁所成的角，
OB₁=

OB2+BB12

=

12+( 2 2 )2

 =

6

2

，AB₁=

2

在Rt△AB₁O中，cos∠AB₁O=

OB1

AB1

=

6 2

2

=

3

2

．
∴AB₁与平面BDD₁B₁所成角的余弦值为

3

2

；

点评：本题考查直线与平面垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，解题的关键是正确作出空间角