Question

设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l₁，l₂，过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
解答：解：不妨设OA的倾斜角为锐角
∵向量与同向，
∴渐近线l₁的倾斜角为（0，），
∴渐近线l₁斜率为：k=＜1，
∴==e2-1＜1，
∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=|AB|，
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列
∴|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=，
由对称性可知：OA的斜率为k=tan（-∠AOB），
∴=，∴2k²+3k-2=0，∴k=（k=-2舍去）；
∴=，∴==e²-1=，
∴e²=，
∴e=．
故答案为：．
点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定|OA|=|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．