题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函数f（x）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|值域．
分析：（1）由向量数量积的坐标公式，及余弦的差角公式可求出
a
•
b
；因为|
a
+
b
|2=（
a
+
b
）2，所以先求（
a
+
b
）2，然后求|
a
+
b
|．
（2）由
a
•
b
与|
a
+
b
|求出f（x），然后把它整理为二次函数形式，进而结合余弦的值域解决问题．
解答：解：（1）
a
•
b
=cos
3
2
x•cos
1
2
x-sin
3
2
x•sin
1
2
x=cos（
3
2
x+
1
2
x）=cos2x．
∵（
a
+
b
）2=（cos
3
2
x+cos
1
2
x）2+（sin
3
2
x-sin
1
2
x）2=2+2（cos
3
2
x•cos
1
2
x-sin
3
2
x•sin
1
2
x）
=2+2cos2x=2+2（2cos2x-1）=4cos2x
且x∈[0，
π
2
]
∴|
a
+
b
|=2cosx．
（2）由（1）知f（x）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|=cos2x-4cosx
=2cos2x-4cosx-1=2（cosx-1）2-3
∵x∈[0，
π
2
]∴cosx∈[0，1]
∴函数f（x）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|值域是[-3，-1]．
点评：有的三角函数问题，不能转化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函数y=Acos（ωx+φ）+B）的形式来解决，可考虑利用二次函数来处理．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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