Question

（19）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。

（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。

Answer 1

(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.

解：（I）∵f(x)+2x>0的解集为（1，3），

∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a.       ①

由方程f(x)+6a=0得

ax²-(2+4a)x+9a=0.                      ②

因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)]²-4a·9a=0,

即    5a²-4a-1=0.

解得   a=1或a=-.

由于a<0，舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式

f(x)=-x²-x-.

(II)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a

=a(x-)²-

及a<0，可得f(x)的最大值为-.

由

解得   

a＜-2-或-2+＜a＜0

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是

(-∞，-2-)∪(-2+,0).