Question

已知二次函数f（x），当x=

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2

时有最大值25，且f（x）=0的两根立方和为19，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：设出顶点式，利用f（x）=0的两根立方和为19，求出二次项系数．

解答：解：∵二次函数f（x），当x=

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2

时有最大值25，∴可设f（x）=a（x-

1

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）²+25=ax²-ax+

a

4

+25，
设f（x）=0的两根为 m、n，则 m+n=1，mn=

1

4

+

25

a

，
∵f（x）=0的两根立方和为19，
∴m³+n³=（m+n）（m²+n²-mn ）=（m+n）[（m+n）²-3mn]=1×[1-3（

1

4

+

25

a

）]=19
解得 a=-4，
∴f（x）=-4(x-

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2

)2+25．

点评：本题考查二次函数解析式的求法，设二次函数的顶点式比较方便．