Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点F₁、F₂与短轴一端点的连线互相垂直，M为椭圆上任一点，且△MF₁F₂的面积最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆A：的切线l与椭圆C交于P、Q两点，求以坐标原点O及P、Q三点为顶点的△OPQ的外接圆面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）椭圆的左右焦点F₁、F₂与短轴一端点的连线互相垂直，可得b=c=1，从而可求椭圆方程；
（2）l斜率不存在时，l方程为，此时OP⊥OQ；l斜率存在时，设l方程为y=kx+m，利用l与圆A：相切，可得3m²=2（1+k²），联立l与椭圆方程，利用韦达定理，可得OP⊥OQ，于是△OPQ为直角三角形，其外接圆直径为|PQ|，可求，令1+2k²=t≥1，可得，利用配方法可求△OPQ外接圆最大面积．
解答：解：（1）椭圆中，由题意可知…（4分）
∴b=c=1，∴，
∴椭圆方程为…（6分）
（2）l斜率不存在时，l方程为，此时、，∴OP⊥OQ…（7分）
l斜率存在时，设l方程为y=kx+m
∵l与圆A：相切，∴，即3m²=2（1+k²）
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），联立l与椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（9分）
∴
∴OP⊥OQ…（11分）
于是△OPQ为直角三角形，其外接圆直径为|PQ|，

∵3m²=2（1+k²），∴
令1+2k²=t≥1，∴
∵t≥1，∴
∴，即t=2，时，|PQ|取最大值
∴△OPQ外接圆最大面积为…（14分）
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是确定△OPQ为直角三角形．