Question

（08年龙岩一中冲刺文）（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD＝1，，点E在棱AB上移动.

    （1）若E为AB中点，求证：；

    （2）若E为AB中点，求E到面的距离；

    （3）AE等于何值时，二面角的大小

为

Answer 1

解析：方法一：

（1）证明：PD垂直于底面ABCD，

在矩形ABCD中，AD＝1，，E为AB中点，可得，

，，又

……………4分

 

（2）设点E到平面的距离为h，由题设可得

计算得

          则　　　　　　　……………8分

（3）过D作，垂足为H，连则

为二面角的平面角.

设，在直角中，

在直角中，在直角中，

在直角中，，在直角中，

因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为……12分

方法二：以Ｄ为原点，如图建立空间坐标系，

有

（1）证明：因为E是AB中点，有

∵，

，

∴，

所以　　……………4分

（2）解：因为E是AB中点，有，      设平面的法向量为则也即，

得，从而，点E到平面的距离………8分

（3）设，平面的法向量为

由令，得

则于是

（不合，舍去），

即时，二面角的大小为　　　…………………12分