Question

(本小题满分12分) 已知圆，点，直线.

(1) 求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

(2) 在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

 

 

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）充分利用垂直直线系方程设直线方程，即若直线垂直于直线,则可设直线方程为：,并利用圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径的几何性质性质求解得直线方程；（2）假设存在，利用条件表达出并利用坐标化简求解.

试题解析：

⑴因所求直线垂直于直线，故设所求直线方程为，

直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为 .

⑵假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；

当为圆与轴右交点时，，依题意，，

解得，（舍去），或.

下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数.

设，则，

∴，

从而为常数.

考点：(1)直线与圆位置关系；（2）存在性问题.