Question

已知幂函数y=x^3m-9（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随x的增大而减小，求满足（a+1） -

m

3

＜（3-2a） -

m

3

的a的范围．

Answer 1

分析：利用幂函数在（0，+∞）上是减函数判断出指数小于0，由图象关于y轴对称得到指数是偶数，求出m的值；利用幂函数的单调性将不等式转化为一次不等式，求出解集．

解答：解∵函数在（0，+∞）上递减，
∴3m-9＜0，解得m＜3，又m∈N^*，∴m=1，2．
又函数图象关于y轴对称，
∴3m-9为偶数，故m=1，
∴(a+1)-

1

3

＜(3-2a)-

1

3

又∵y=x-

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均递减，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a
或a+1＜0＜3-2a，
解得

2

3

＜a＜

3

2

或a＜-1．
故a的取值范围是

2

3

＜a＜

3

2

或a＜-1．

点评：本题考查幂函数的性质：幂函数奇、偶性与幂指数有关、幂函数的单调性与幂指数有关．