Question

已知x满足不等式(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0．求函数f(x)=(log2

x

4

)(log2

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由条件求得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，故有-2≤log₂x≤-

1

3

．令t=log₂x，则-2≤t≤-

1

3

，函数f（x）即g（t）=（t-1）（t-2）=(t-

3

2

)2-

1

4

，再根据g（t）在[-2，-

1

3

]上为减函数，求得g（t）的最值．

解答：解：由不等式(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0，可得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，
故有-2≤log₂x≤-

1

3

．
令t=log₂x，则-2≤t≤-

1

3

，
函数f(x)=(log2

x

4

)(log2

x

2

)=（log₂x-2）（log₂x-1）
=(log2x)2-3log₂x+2=g（t）=（t-1）（t-2）=(t-

3

2

)2-

1

4

，
故g（t）在[-2，-

1

3

]上为减函数，故当 t=-2时，g（t）取得最大值为12，
当t=-

1

3

时，g（t）取得最小值为

28

9

．

点评：本题主要一元二次不等式的解法，求二次函数在闭区间上的最值，体现了换元、转化的数学思想，属于中档题．